Exercices

Chapitre 1: Représentation des entiers naturels

1 Représentation binaire des entiers naturels

https://h5p.lyceum.fr/3402212386/

2 Entiers naturels en base deux

1. Trouver la représentation en base deux du nombre 1000.

2. Donner les représentations en base deux des nombres 1, 3, 7, 15, 31 et 63. Expliquer le résultat.

   Ces nombres sont égaux à une puissance de 2 moins 1, $2^n - 1$ ce sont les plus grands nombres pouvant être encodés sur $n$ bits.

3. Trouver la représentation en base dix du nombre $1001~0110_2$.

4. C’est en $111~1001~0000_2$ qu’a été démontré le théorème fondamental de l’informatique. Exprimer ce nombre en base dix.

5. Pour multiplier par dix un entier naturel exprimé en base dix, il suffit d’ajouter un 0 à sa droite, par exemple, $12 \times 10 = 120$. Quelle est l’opération équivalente pour les entiers naturels exprimés en base deux ? Exprimer en base deux les nombres 3, 6 et 12 pour illustrer cette remarque.

   Lorsqu’n ajoute un zéro en base deux, le nombre est multiplié par deux.

3 Octet et information

1. Combien de bits d’informations contient un octet ? Combien un octet peut-il représenter de valeurs différentes ?

2. On imagine un ordinateur dont la mémoire est constituée de quatre circuits mémoire un bit. Quel est le nombre d’états possibles de la mémoire de cet ordinateur ? Même question pour un ordinateur dont la mémoire est constituée de dix circuits mémoires un bit. Et pour un ordinateur dont la mémoire est constituée de 34 milliards de tels circuits.

3. On veut représenter chacune des sept couleurs de l’arc-en-ciel par un mot, les sept mots devant être distincts et de même longueur. Quelle est la longueur minimale de ces mots ?

4 Entiers naturels en base 16

1. Trouver la représentation en base 16 du nombre binaire: $111100011001_2$.

2. Trouver la représentation en base dix du nombre $4e2c_{16}$.

3. Trouver la représentation en base seize du nombre $965_{10}$.

5 Effectuer des opérations

1. Poser les opérations binaires suivantes et vérifier votre résultat en base 10:

      11010
   + 110011
   --------

    110011
   - 11010
   --------

2. Poser les opérations hexadécimales suivantes et vérifier votre résultat en base 10:

      FF0
   +   1E
   ------

    FF0
   - 1E
   ----

6 Représenter des couleurs en hexadécimal

En HTML et en CSS, les couleurs peuvent être codées sous la forme d’un sextuplet hexadécimal représentant ainsi la couleur sur 3 octets. Par exemple: 12AB5F.

Chaque octet est écrit avec deux chiffres hexadécimaux, et représente un niveau parmi 256 de chacune des trois couleurs primaires de la synthèse additive Rouge, Vert et Bleu dans l’ordre.

Par exemple, le code #FF0000 représente un niveau maximal à 255 sur le rouge, et des niveaux nuls pour le vert et le bleu.

Une animation est disponible à l’adresse suivante: https://apps.lyceum.fr/css-colors/

1. Chaque composante de couleur étant codé sur un octet, donner en décimal et en hexadécimal les valeurs minimale, maximale et médiane.

2. Compléter le tableau suivant:

   couleur	Code hexadécimal	R(décimal)	V(décimal	B(décimal)	Codage 3bits(quest. 4)
   	#000000
   		0	0	255	001
   Vert
   	#00FFFF
   		255	0	0	100
   Magenta
   	#FFFF00
   Blanc

3. La complémentaire d’une couleur est obtenue en allumant les lampes éteintes et en éteignant les lampes allumées. Déterminer les couleurs complémentaires des couleurs précédentes.

4. En utilisant comme précédemment uniquement les éclairages nuls et maximum, combien de couleurs sont codées? En déduire comment aurait-on pu coder ces données sur 3 bits et compléter le tableau de la question 2?

5. Quel est le nombre de couleurs qui peut être codé si on considère toutes les combinaisons d’éclairage rendues possibles par le codage hexadécimal utilisé par le HTML et CSS.

6. Grâce à l’animation expliquer comment:

   • Créer des nuances de gris.

   • Comment obscurcir une couleur par exemple le rouge.

   • Comment éclaircir une couleur par exemple le rouge.