Exercices

Chapitre 5: Notion de programme*

1 Vocabulaire

1. Donner deux exemples qui montrent pourquoi un programme est aussi une donnée.
2. Quelle est la différence entre la calculabilité et la décidabilité d’un problème ?
3. Donner des exemples de problèmes décidables.
4. Donner un exemple de problème indécidable.

2 Exemple de fonction calculable: la racine carrée

On définit ci-dessous une fonction racine_carrée.

def racine_carrée(n, precision=1E-2):
    """Recherche d'une racine carrée par une méthode dichotomique
    
    Paramètres
    ----------
    n: float
        le nombre dont on recherche la racine
    precision: float 0.01 par défaut
        precision du calcul du carré
    
    Returns
    -------
    float
        la racine carrée de n
    """
    gauche, droite, milieu = 0, n, n
    while abs(milieu ** 2 - n) > precision :
        milieu = (gauche + droite) / 2
        if milieu ** 2 - n > 0:
            droite = milieu - precision
        else:
            gauche = milieu + precision
    return milieu

1. Expliquer pourquoi il est nécessaire d’utiliser une précision dans ce calcul ?
2. Expliquer la ligne: while abs(milieu ** 2 - n) > precision :
3. Pourquoi peut-on qualifier cet algorithme de dichotomique ?

3 Problèmes de décision sur les entiers

1. Implémenter en Python deux fonctions :

   • est_pair(n): Renvoie True si le nombre entier $n$ est pair, False sinon.
   • est_premier(n): Renvoie True si le nombre entier $n$ est premier, False sinon.

2. Tester ces fonctions avec des petites entrées, puis avec des grandes pour voir si ces algorithmes seraient utilisables en pratique.

4 Non-décidabilité de l’arrêt

1. Pourquoi dit-on que le problème de l’arrêt est indécidable ?

Supposons qu’il existe une fonction calculable termine(fonction, données) qui prend 2 arguments :

• une fonction,
• et des données d’entrée pour cette fonction

et qui renverra True si le programme termine et False s’il entre dans une boucle infinie.

On définit les deux fonctions suivantes :

def fonction1(n):
    if n % 3 != 0:
        return True
    else:
        return False

def fonction2(n):
    while n % 3 != 0:
        print("True")
    print("False")

2. Que renverront les appels suivants ?

   termine(function1, 7)
   termine(function1, 9)
   termine(function2, 7)
   termine(function2, 9)

   Justifier vos réponses.

3. On définit une fonction test_sur_soi.

   def test_sur_soi(programme):
       if termine(programme, programme):
           while True: pass # boucle infinie

   Que se passe-t-il si on appelle test_sur_soi sur elle-même: test_sur_soi(test_sur_soi) ?